现代数学难题

  我们在前面给读者介绍了许多历史上已经解决和尚未解决的世界难题。其实现代也有许多这样的难题,有些甚至就发生在我们的身旁。

  如果给你一个2×2cm2的正方形,问你在它内部能装填多少个直径为1cm的圆,你会脱口而出,答案是4(如图(1)).而且会不屑地问,这也算世界难题吗?别忙,现在请你看这样一个问题:

 

  问题1 设有一个2×1000(单位略)的长方形L,问在L内能装填多少个直径为1的圆?

  这时如果你照上面的方法去做,而且回答说,结果是2×1000=2000个。那么我要告诉你,答案错了,而且这个貌似极简单的问题的的确确是当今的世界难题。数学家们目前得到的最好结果是:

  (1)L内最多能装2111个以上的圆。

  (2)L内装不下2113个圆。

  (3)L内到底能否装下2112个圆,至今还不得而知。

  这个结果是怎样得出的呢?

  关于(2)的证明太复杂,我们无法介绍。但关于(1)的证明并不困难(如图(2)),只要你学过勾股定理就可以看懂。

 

  按图(2)的方法装填圆,把图中的A1A2B2B1作为一个计算单元。

  第一步 先在图(2)中计算A1B1(A1B1=AB)的长。

  如图(3),显然,AB=ACCB=2H1CCB.由勾股定理

  

 

  CD恰为两圆半径的和,所以CD=1

 

 

  

  H1H2EFAC这两条平行线间的距离,注意AA1是圆的半径,EE1也是圆的半径则EE1AA1=1.这样我们可以算出H1H2=1.所以

  

 

  A1B1是与AB相等的。

  这样L中有A1A2B2B1这样的单元共

1000÷AB=335.34884…≈335()

  每个单元可装5个整圆和两个半圆(如图(4))啊第一个单元与第335个单元外部的半个圆((4)中带斜线的整圆的一半)无法再凑成整圆,而中间部分单元的半圆均可凑成整圆,因此这335个单元总共可装填的圆数为

333×62×51=2009()

 

  但是335个单元用去的总长度是:

2.9819695×335=998.9597825

  因此L还余下长度多于1的部分。如果我们把这一个单位的长度分为两等分补到第一个计算单元左边和第335个计算单元右边((4)中的虚线部分),则两个带斜线的圆也包含在L中了。所以L中总共可以装下2011个圆。

  (3)个问题,证明尚未解决,也许有一天我们的读者中有人做出它,我们期待这一天的到来。

  下面我们再来看一个问题:

  在边长为100000(单位略)的正方形里最多可装填多少个单位正方形?

  答案显然很快可算出为105×105=1010()

  现在把问题稍加改变:

  问题2 在边长为100000.1(单位略)的正方形里最多可装填多少个正方形?

  有了问题1的教训,我们再不要轻易地下结论了。因为这时如果能装填1010个正方形,那么,原来大正方形的两邻边会各余下100000.1×0.1的长条。这两个长条的面积还是很大的,它们是否还可以利用呢?怎样去利用它呢?

  事实上的确可以利用,美国的学者格雷厄姆采用下面的作法(如图(5)(6)(7))

 

  他先把大正方形分割成图(5)中的ABC三块,A中可装填单位正方形

(99950)2=9990002500()

  区域B又按图(6)划分成两个直角三角形△MRQ和△NPT与平行四边形RNTQ

  平行四边形可按图斜放单位正方形,每一小条放51个,而斜放的长条可放98049(同学们可自己计算出这些数字),因此平行四边形中可装填单位正方形

51×98049=5000499()

  直角三角中按图(7)的方法装填,可装填单位正方形

454035+…+105=225()

  因此B中共可装填单位正方形

50004992×225=5000949()

  用同样的方法可计算出C内可装填单位正方形

49980002×225=4998450()

  这样原大正方形总共可装填单位正方形

999000250050009494998450=10101899()

  这只是一种装填法。那么能够装填最多的单位正方形的方法是怎样的呢?这个问题还没有解决。

  类似的问题还有很多。上面的问题仅涉及到平面图形的装填问题,如果问题变为立体图形,情况就更丰富多彩了。