角谷猜想

 

  作为本书的最后一个问题,向大家介绍一个近几年来,始发于欧美、风靡全球的趣味数学游戏——“角谷猜想”问题。

  “角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实,叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰当。

  为什么叫它“冰雹猜想”呢?顾名思义,这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。

  大家知道,小水滴在高空中受到上升气流的推动,在云层中忽上忽下,越积越大并形成冰,最后突然落下来,变成冰雹。

  “冰雹猜想”就有这样的意思,它算来算去,数字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下来,变成一个数字:“1”.

  这个数学猜想的通俗说法是这样的:

  任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,即将它变成

  对任意的一个自然数施行这种演算手续,经有限步骤后,最后结果必然是最小的自然数1

  对这个猜想,你不妨任意挑几个数来试一试:

   N=9,则 9×31=28 28÷2=14 14÷2=7 7×31=2222÷2=1111×31=3434÷2=1717×315252÷226 26÷21313×31=4040÷2=2020÷2=1010÷2=55×31=1616÷2=88÷2=44÷2=22÷2=1

  你看,经过19个回合(这叫“路径长度”),最后变成了“1”.

   N=120,则120÷2=6060÷2=3030÷2=1515×31=4646÷2=2323×31=7070÷2=3535×31=106106÷2=5353×31=160160÷2=8080÷2=4040÷2=2020÷2=1010÷2=55×31=1616÷2=88÷2=44÷2=22÷2=1

  你看,经过20个回合,最后也仍然变成了“1”.

  有一点更值得注意,假如N2的正整数方幂,则不论这个数字多么庞大,它将“一落千丈”,很快地跌落到1.例如:

N=65536=216

  则有:65536327681638481924096204810245122561286432168421

  你看,它的路径长度为16,比9的还要小些。

  我们说“1”是变化的最终结果,其实不过是一种方便的说法。严格地讲,应当是它最后进入了“ 1421”的循环圈。

  这一结果如此奇异,是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试,但迄今为止,总是发现它们最后都无一例外地进入“1421”这个死循环。已经验证的最大数目,已达到1099511627776

  由于数学这门科学的特点,尽管有了如此众多的实例,甚至再试验下去,达到更大的数目,但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明,因此还只能称它为一个猜想。(在我们所查阅的资料中,尚未见到对这一猜想的完整证明。)可想而知,要证明它或推翻它,都是很不容易的,要设法说出它的实质,也似乎是难上加难。

  不仅如此,对于“角谷猜想”,人们在研究过程中或作出了改动,或进行了推广,得出的结果同样富有奇趣。比如,对于“角谷猜想”若作如下更动:

  任给一个自然数,若它是偶数,则将它除以2;若它是奇数,则将它乘以3再减1.……如此下去,经过有限次步骤运算后,它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环:

  121;②514720105

  17502574371105516482411226118291272136683417

  亲爱的读者,你能对它们作出证明吗?更进一步,你能作出新的发现,为数学这个万花园增添新的奇光异彩吗?